Ongelijkheden oplossen: van omklappen tot tekenschema

Een ongelijkheid oplossen lijkt op een vergelijking oplossen, maar met één belangrijk verschil: het antwoord is geen los getal, maar een heel gebied van getallen. En er is precies één regel die iedereen weleens vergeet.

De gouden regel: het teken klapt om

Bij een ongelijkheid mag je optellen, aftrekken, en vermenigvuldigen of delen door een positief getal, net als bij een gewone vergelijking. Maar:

Vermenigvuldig of deel je door een negatief getal, dan draait het ongelijkheidsteken om.

Waarom? Kijk naar $2 < 5$. Vermenigvuldig beide kanten met $-1$ en je krijgt $-2$ en $-5$. Nu is $-2$ juist groter dan $-5$. De volgorde is omgekeerd, dus het teken moet mee omklappen: $-2 > -5$.

Lineaire ongelijkheden

Los op: $-3x + 4 \leq 13$.

$$-3x \leq 9$$

Nu delen door $-3$, dus het teken klapt om:

$$x \geq -3$$

De oplossing is alles vanaf $-3$: $x \in [-3, \rightarrow\rangle$.

Controle: vul een getal in dat volgens jou klopt, bijvoorbeeld $x = 0$. Dan is $-3 \cdot 0 + 4 = 4$, en $4 \leq 13$ klopt. Vul nu een getal in dat er buiten valt, $x = -10$: $-3 \cdot -10 + 4 = 34$, en $34 \leq 13$ klopt niet. Je oplossing is dus de goede kant op.

Kwadratische ongelijkheden: eerst de grens, dan het gebied

Bij $x^2 - x - 6 > 0$ werkt "even omschrijven" niet meer. Gebruik dit vaste stappenplan:

Stap 1: alles naar één kant, gelijkstellen aan $0$. Dat staat er al.

Stap 2: los de bijbehorende vergelijking op. Deze grenzen heten de nulpunten.

$$x^2 - x - 6 = 0$$

Ontbinden geeft $(x - 3)(x + 2) = 0$, dus $x = 3$ of $x = -2$. Lukt ontbinden niet, gebruik dan de abc-formule.

Stap 3: zet de nulpunten op een getallenlijn en bepaal per gebied het teken.

De gebieden zijn $x < -2$, $-2 < x < 3$ en $x > 3$. Kies in elk gebied een makkelijk testgetal:

• $x = -3$: $9 + 3 - 6 = 6 > 0$, dus positief
• $x = 0$: $0 - 0 - 6 = -6 < 0$, dus negatief
• $x = 4$: $16 - 4 - 6 = 6 > 0$, dus positief

Stap 4: lees af wat gevraagd wordt. We zochten $> 0$, dus de positieve gebieden:

$$x < -2 \quad \text{of} \quad x > 3$$

Denk aan de vorm van de parabool als controle: $a > 0$ betekent een dal, dus de grafiek ligt buiten de nulpunten boven de $x$-as. Dat klopt met wat we vonden.

Gebroken ongelijkheden: let op de noemer

Los op: $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$.

Hier mag je niet kruislings vermenigvuldigen, want je weet niet of $x + 2$ positief of negatief is, dus je weet niet of het teken omklapt. Gebruik in plaats daarvan een tekenschema:

• De teller is $0$ bij $x = 1$.
• De noemer is $0$ bij $x = -2$, daar is de breuk niet gedefinieerd.

Zet beide waarden op de getallenlijn en test per gebied:

We zoeken $\geq 0$, dus de positieve gebieden plus het punt waar de breuk $0$ wordt:

$$x < -2 \quad \text{of} \quad x \geq 1$$

Let op het verschil in de haakjes: bij $x = 1$ is de breuk precies $0$ en dat mag ($\geq$), maar $x = -2$ doet nooit mee, want daar deel je door nul.

Veelgemaakte fouten

1. Het teken niet omklappen bij delen door een negatief getal. Dit is verreweg de meestgemaakte fout. Twijfel je? Vul één getal in ter controle.
2. Delen door een variabele. Bij $x^2 > 3x$ mag je niet zomaar door $x$ delen: $x$ kan negatief zijn, of nul. Breng alles naar één kant: $x^2 - 3x > 0$, dus $x(x - 3) > 0$.
3. De noemer-nulpunten vergeten bij gebroken ongelijkheden. Ze zijn geen oplossing, maar ze verdelen de getallenlijn wel.
4. $\leq$ en $<$ door elkaar halen. Staat er een streepje onder het teken, dan hoort de grens erbij. Bij een noemer nooit.
5. Alleen de nulpunten opschrijven. De nulpunten zijn de grenzen, niet het antwoord. Het antwoord is altijd een gebied.

Kort samengevat

Lineair? Herleiden en opletten bij het delen door een negatief getal. Kwadratisch of gebroken? Nulpunten zoeken, getallenlijn tekenen, per gebied testen, en pas dan aflezen. Dat schema werkt ook bij ongelijkheden met wortels of logaritmen.