Logaritmen uitleg: de omgekeerde van machten

Een logaritme klinkt intimiderend, maar is niets meer dan de omgekeerde vraag van een macht. Bij machten vraag je: "wat is $2^3$?" (antwoord: 8). Bij een logaritme draai je het om: "tot welke macht moet ik 2 verheffen om 8 te krijgen?" (antwoord: 3).

De definitie

De logaritme is precies dit verband:

$$\log_b(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad b^y = x$$

Je leest $\log_b(x)$ als "de logaritme met grondtal $b$ van $x$". Een paar voorbeelden:

• $\log_2(8) = 3$, want $2^3 = 8$
• $\log_{10}(1000) = 3$, want $10^3 = 1000$
• $\log_5(1) = 0$, want $5^0 = 1$

Het grondtal $b$ moet positief zijn en niet gelijk aan 1, en je kunt alleen de logaritme van een positief getal nemen.

De drie rekenregels

Deze drie regels maken bijna elk logaritme-vraagstuk hanteerbaar:

$$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$$

$$\log_b!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$

$$\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$$

De machtsregel is de handigste: hij haalt een exponent naar voren, waardoor je hem uit de "hoogte" kunt halen en gewoon kunt oplossen.

Een vergelijking oplossen

Stel je moet $2^x = 32$ oplossen. Neem van beide kanten de logaritme en gebruik de machtsregel:

$$\log_2(2^x) = \log_2(32) ;\Rightarrow; x \cdot \log_2(2) = 5 ;\Rightarrow; x = 5$$

omdat $\log_2(2) = 1$ en $\log_2(32) = 5$. Bij een lastiger grondtal gebruik je je rekenmachine met $\log_{10}$ of de natuurlijke logaritme $\ln$.

Veelgemaakte fouten

1. $\log_b(x + y)$ uit elkaar trekken. Dat mag niet — de somregel bestaat niet. Alleen product, quotiënt en macht hebben regels.
2. De logaritme van een negatief getal. Die is niet gedefinieerd.
3. Grondtal vergeten. $\log(x)$ zonder grondtal betekent meestal $\log_{10}(x)$; $\ln(x)$ is de logaritme met grondtal $e$.

Logaritmen komen terug bij exponentiële groei en zelfs bij afgeleiden. Wil je zien hoe je functies differentieert? Lees de afgeleide uitgelegd.