Machten en wortels: de rekenregels op een rij

Machten en wortels zijn twee kanten van dezelfde medaille. Beheers je de rekenregels, dan worden exponentiële functies, logaritmen en veel algebra ineens overzichtelijk.

De machtsregels

Bij het rekenen met machten met hetzelfde grondtal gelden deze regels:

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$$

Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op, bij delen trek je ze af, en een macht van een macht vermenigvuldigt de exponenten.

Bijzondere exponenten

• Exponent 0: alles (behalve 0) tot de macht nul is $1$: $a^{0} = 1$.
• Negatieve exponent: betekent één gedeeld door: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$.

Bijvoorbeeld $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}$.

Wortels als gebroken exponenten

Een wortel is niets anders dan een macht met een gebroken exponent:

$$\sqrt{a} = a^{1/2}, \qquad \sqrtn = a^{1/n}, \qquad \sqrtn{a^{m}} = a^{m/n}$$

Zo is $\sqrt{16} = 16^{1/2} = 4$ en $\sqrt3{8} = 8^{1/3} = 2$.

Rekenen met wortels

Wortels mag je vermenigvuldigen en delen onder het wortelteken:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Maar let op: $\sqrt{a + b}$ is niet $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. Dat is een veelgemaakte fout.

Veelgemaakte fouten

1. Exponenten optellen bij een macht van een macht. $(a^2)^3 = a^6$, niet $a^5$.
2. Wortel van een som splitsen. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, niet $3 + 4 = 7$.
3. Negatieve exponent verwarren met een negatief getal. $2^{-3}$ is $\frac{1}{8}$, niet $-8$.

Machten met een variabele exponent brengen je bij exponentiële functies en logaritmen.