Raaklijn opstellen aan een grafiek: het stappenplan

"Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x = 2$." Deze vraag komt in vrijwel elk examen terug. Het goede nieuws: er is één stappenplan dat altijd werkt.

Het idee achter een raaklijn

De afgeleide $f'(x)$ geeft de helling van de grafiek in elk punt. Een raaklijn is de rechte lijn die de grafiek in één punt aanraakt en daar precies dezelfde helling heeft. Dus:

$$\text{richtingscoëfficiënt van de raaklijn} = f'(a)$$

Verder is een raaklijn gewoon een rechte lijn, dus hij heeft de vorm $y = ax + b$.

Het stappenplan

Voor de raaklijn aan $f$ in het punt met $x = a$:

1. Bereken $f(a)$: de $y$-coördinaat van het raakpunt.
2. Bepaal $f'(x)$.
3. Bereken $f'(a)$: dit is de richtingscoëfficiënt.
4. Vul het raakpunt $(a, f(a))$ in de vorm $y = f'(a) \cdot x + b$ en los $b$ op.

Voorbeeld 1

Stel de raaklijn op aan $f(x) = x^2 - 4x + 5$ in het punt met $x = 3$.

Stap 1. $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$, dus het raakpunt is $(3, 2)$.

Stap 2. $f'(x) = 2x - 4$.

Stap 3. $f'(3) = 6 - 4 = 2$, dus de richtingscoëfficiënt is $2$.

Stap 4. De lijn is $y = 2x + b$. Invullen van $(3, 2)$:

$$2 = 2 \cdot 3 + b \quad \Rightarrow \quad b = -4$$

De raaklijn is $y = 2x - 4$.

Controle: vul $x = 3$ in de gevonden lijn in. Je krijgt $2$, precies de $y$-waarde van het raakpunt. Klopt dat niet, dan zit er een rekenfout in stap 4.

Voorbeeld 2: met de kettingregel

Stel de raaklijn op aan $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ in het punt met $x = 4$.

Stap 1. $f(4) = \sqrt{9} = 3$, dus het raakpunt is $(4, 3)$.

Stap 2. Schrijf eerst als macht: $f(x) = (2x+1)^{1/2}$. Met de kettingregel:

$$f'(x) = \tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$

Stap 3. $f'(4) = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$.

Stap 4. $y = \tfrac{1}{3}x + b$, en invullen van $(4, 3)$ geeft $3 = \tfrac{4}{3} + b$, dus $b = \tfrac{5}{3}$.

De raaklijn is $y = \tfrac{1}{3}x + \tfrac{5}{3}$.

De lastige variant: raaklijn door een punt buiten de grafiek

Soms is het raakpunt niet gegeven. Bijvoorbeeld: welke raaklijnen aan $f(x) = x^2$ gaan door het punt $(1, -3)$?

Let op: $(1, -3)$ ligt niet op de grafiek, want $f(1) = 1$. Noem het onbekende raakpunt $(p, p^2)$. De richtingscoëfficiënt is dan $f'(p) = 2p$.

De lijn door $(p, p^2)$ en $(1, -3)$ heeft ook een richtingscoëfficiënt, namelijk het verschil in $y$ gedeeld door het verschil in $x$. Die twee moeten gelijk zijn:

$$\frac{p^2 - (-3)}{p - 1} = 2p$$

$$p^2 + 3 = 2p(p - 1) = 2p^2 - 2p$$

$$0 = p^2 - 2p - 3 = (p - 3)(p + 1)$$

Dus $p = 3$ of $p = -1$: er zijn twee raaklijnen. Voor $p = 3$: raakpunt $(3, 9)$, helling $6$, lijn $y = 6x - 9$. Voor $p = -1$: raakpunt $(-1, 1)$, helling $-2$, lijn $y = -2x - 1$.

Herken je dit type? Het gegeven punt ligt niet op de grafiek. Dan werk je altijd met een onbekend raakpunt $p$.

Veelgemaakte fouten

1. $f(a)$ en $f'(a)$ verwisselen. $f(a)$ is de hoogte van het raakpunt, $f'(a)$ is de helling. Zet ze naast elkaar op papier voordat je invult.
2. Het raakpunt niet invullen. Zonder stap 4 heb je alleen de richtingscoëfficiënt, en dat is nog geen vergelijking.
3. De $x$-waarde in de afgeleide vergeten. $f'(x) = 2x - 4$ is geen richtingscoëfficiënt, $f'(3) = 2$ wel.
4. Aannemen dat het gegeven punt het raakpunt is. Controleer altijd of het punt op de grafiek ligt door de $x$-waarde in $f$ in te vullen.
5. Denken dat er één raaklijn is. Bij een punt buiten de grafiek zijn er meestal twee.

Verwante vragen

Zoek je waar de raaklijn horizontaal is? Dan los je $f'(x) = 0$ op: dat zijn de toppen. Zoek je waar de raaklijn evenwijdig loopt aan een gegeven lijn $y = 3x + 1$? Dan los je $f'(x) = 3$ op. Staat de raaklijn loodrecht op een lijn met helling $m$? Dan geldt $f'(x) = -\tfrac{1}{m}$.