De kettingregel uitgelegd met voorbeelden

De kettingregel gebruik je zodra je een functie ín een functie tegenkomt, een zogenaamde samengestelde functie. Denk aan $(2x + 3)^5$: dat is "iets tot de macht 5", waarbij dat "iets" zelf ook weer een functie van $x$ is. Ken je de gewone afgeleide al, dan is dit de logische volgende stap.

De formule

Voor een samengestelde functie $f(g(x))$ geldt:

$$\frac{d}{dx},f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)$$

In woorden: afgeleide van de buitenkant (met de binnenkant er ongewijzigd in) maal de afgeleide van de binnenkant. Die laatste vermenigvuldiging is precies wat mensen het vaakst vergeten.

Stappenplan

1. Bepaal de buitenkant en de binnenkant.
2. Differentieer de buitenkant, maar laat de binnenkant staan.
3. Vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant.

Voorbeeld 1: een macht

Bepaal de afgeleide van $y = (2x + 3)^5$.

• Buitenkant: $u^5$, met afgeleide $5u^4$.
• Binnenkant: $u = 2x + 3$, met afgeleide $2$.

$$y' = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$$

Voorbeeld 2: een wortel wordt een macht

Bepaal de afgeleide van $y = (x^2 + 1)^3$.

• Buitenkant: $u^3 \rightarrow 3u^2$.
• Binnenkant: $x^2 + 1 \rightarrow 2x$.

$$y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x,(x^2 + 1)^2$$

Voorbeeld 3: een e-macht

Bepaal de afgeleide van $y = e^{3x}$.

• Buitenkant: $e^{u} \rightarrow e^{u}$ (de e-macht blijft zichzelf).
• Binnenkant: $3x \rightarrow 3$.

$$y' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$$

Dit verklaart meteen waarom de afgeleide van $e^{kx}$ altijd $k,e^{kx}$ is: die extra factor $k$ komt rechtstreeks uit de kettingregel.

Veelgemaakte fouten

1. De binnenkant vergeten. $\frac{d}{dx}(2x+3)^5$ is niet $5(2x+3)^4$, maar $10(2x+3)^4$, je moet nog $\times 2$ doen.
2. De binnenkant meteen uitwerken. Bij het differentiëren van de buitenkant laat je de binnenkant ongemoeid, pas daarna vermenigvuldig je met zijn afgeleide.
3. Buiten- en binnenkant verwisselen. Vraag jezelf af: "wat doe ik als láátste als ik een getal invul?" Dat is de buitenkant.