Wat is een afgeleide? Uitleg met intuïtie en voorbeelden

De afgeleide klinkt abstract, maar het idee is simpel: het is de helling van een grafiek op een bepaald punt, oftewel hoe snel iets verandert.

De intuïtie: helling en snelheid

Stel je rijdt in een auto. Je positie verandert in de tijd. De afgeleide van die positie is je snelheid: hoe snel je positie verandert. Op een grafiek is de afgeleide de steilheid van de lijn op dat punt: vlak betekent weinig verandering, steil betekent veel.

De definitie

Formeel is de afgeleide de helling tussen twee punten die je oneindig dicht naar elkaar laat kruipen:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Gelukkig hoef je dit zelden zo uit te rekenen, daar zijn rekenregels voor.

De belangrijkste regel: de machtsregel

Voor een macht van $x$ geldt:

$$\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$$

In woorden: haal de exponent naar voren en verlaag hem met 1.

Voorbeeld

Neem $f(x) = x^2$. Volgens de machtsregel:

$$f'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$$

En voor een som differentieer je term voor term. Neem $g(x) = 3x^3 - 5x + 7$:

$$g'(x) = 9x^2 - 5$$

Merk op: de constante $7$ valt weg: een constante verandert niet, dus haar helling is $0$.

Veelgemaakte fouten

1. De constante laten staan. De afgeleide van een los getal is altijd $0$.
2. De exponent vergeten te verlagen. $x^3$ wordt $3x^2$, niet $3x^3$.
3. Vergeten dat $x$ zelf $x^1$ is. De afgeleide van $x$ is $1 \cdot x^0 = 1$.

Zodra de machtsregel zit, kun je door naar samengestelde functies met de kettingregel en de productregel, onderwerpen voor een volgend artikel.