De product- en quotiëntregel uitgelegd

Zodra je de machtsregel beheerst, loop je al snel tegen functies aan die je niet zomaar term voor term kunt differentiëren: een product van twee functies, of een breuk met een functie in de noemer. Daar heb je twee vaste regels voor.

De productregel

Voor een functie die het product is van twee functies, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, geldt:

$$h'(x) = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)$$

In woorden: afgeleide van de eerste keer de tweede, plus de eerste keer de afgeleide van de tweede. Je differentieert dus om de beurt één van de twee factoren, en telt op.

Voorbeeld

Neem $h(x) = x^2 \cdot \sin(x)$. Kies $f(x) = x^2$ en $g(x) = \sin(x)$, dus $f'(x) = 2x$ en $g'(x) = \cos(x)$. Invullen:

$$h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$$

De quotiëntregel

Voor een breuk $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ geldt:

$$h'(x) = \frac{f'(x),g(x) - f(x),g'(x)}{\big(g(x)\big)^2}$$

Let op de twee valkuilen: het is een min in de teller (de volgorde telt dus!) en je deelt door het kwadraat van de noemer.

Voorbeeld

Neem $h(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$. Kies $f(x) = x$ en $g(x) = x^2 + 1$, dus $f'(x) = 1$ en $g'(x) = 2x$. Invullen:

$$h'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

Een geheugensteun voor de volgorde

Bij de quotiëntregel maken veel leerlingen een fout in de volgorde. Onthoud: begin altijd met "afgeleide teller keer noemer", dan pas het aftrekken. Wissel je die twee om, dan klopt het teken niet meer.

Welke regel wanneer?

• Twee functies vermenigvuldigd → productregel.
• Een functie gedeeld door een andere → quotiëntregel.
• Een functie ín een andere (samengesteld, zoals $\sin(x^2)$) → dat is de kettingregel.

In de praktijk combineer je ze vaak. Een breuk waarin de teller zelf een samengestelde functie is, vraagt bijvoorbeeld om de quotiëntregel én de kettingregel. Herkennen wélke structuur je voor je hebt, is het halve werk, en dat leer je vooral door te oefenen.