Kwadraat afmaken: een tweedegraadsvergelijking herschrijven

Kwadraat afmaken is een handige techniek om een tweedegraadsvergelijking te herschrijven naar een vorm waaruit je direct de oplossing (of de top van de parabool) kunt aflezen. Het is ook de basis waaruit de abc-formule wordt afgeleid.

Het idee

Een tweeterm-kwadraat werkt zo uit: $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$. Bij "kwadraat afmaken" doe je dit omgekeerd: je zoekt bij $x^2 + bx$ de waarde die het een volledig kwadraat maakt. Die waarde is $\left(\frac{b}{2}\right)^2$.

Stap voor stap

Neem $x^2 + 6x + 5 = 0$.

1. Zet de losse term aan de andere kant: $x^2 + 6x = -5$.
2. Neem de helft van de coëfficiënt van $x$ (hier $6$), kwadrateer die: $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$.
3. Tel dat aan beide kanten op: $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$.
4. Links staat nu een volledig kwadraat: $(x + 3)^2 = 4$.
5. Worteltrekken: $x + 3 = \pm 2$, dus $x = -1$ of $x = -5$.

Waarom het nuttig is

• Je kunt er elke tweedegraadsvergelijking mee oplossen, ook zonder de abc-formule.
• De vorm $(x + p)^2 = q$ geeft direct de top van de parabool: $(-p, \ldots)$.
• Het is de afleiding achter de abc-formule zelf.

Let op

Werkt de coëfficiënt vóór $x^2$ niet mee (bijvoorbeeld $2x^2$), deel dan eerst de hele vergelijking door dat getal. Meer over machten en wortels lees je in machten en wortels.