Trigonometrie & Complexe getallen
Exacte waarden van sin, cos en tan (30°, 45°, 60°)
21 juli 2026
Op je examen mag je vaak geen rekenmachine gebruiken, of moet je een exact antwoord geven. Dan komen de standaardhoeken van pas: $30°$, $45°$ en $60°$ (oftewel $\tfrac{\pi}{6}$, $\tfrac{\pi}{4}$ en $\tfrac{\pi}{3}$). Hun sinus, cosinus en tangens zijn nette wortelvormen die het waard zijn om te kennen.
De tabel
| Hoek | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45°$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | — |
Een handige truc om ze te onthouden
Schrijf voor $\sin$ bij de hoeken $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ de rij:
$$\frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2}$$
Dat wordt netjes $0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, 1$. Voor $\cos$ lees je dezelfde rij andersom. En $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$, dus die kun je altijd afleiden.
Waar komen ze vandaan?
Je hoeft niks te stampen als je twee driehoeken snapt.
De 45°-driehoek
Neem een rechthoekige driehoek met twee gelijke rechthoekszijden van lengte $1$. De hoeken zijn dan $45°$. Via Pythagoras is de schuine zijde $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Dus:
$$\sin(45°) = \frac{\text{overstaand}}{\text{schuin}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
en $\cos(45°)$ is precies hetzelfde.
De 30°–60°-driehoek
Neem een gelijkzijdige driehoek met zijden $2$ en knip hem doormidden. Je krijgt een rechthoekige driehoek met een schuine zijde $2$, een korte zijde $1$ (tegenover de $30°$) en een lange zijde $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Daaruit lees je direct af:
$$\sin(30°) = \frac{1}{2}, \qquad \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Verder dan 90°
Voor hoeken buiten dit bereik gebruik je de eenheidscirkel: daarmee bepaal je het teken (plus of min) en de bijbehorende standaardhoek. Twijfel je nog wanneer je welke verhouding gebruikt? Lees dan eerst sinus, cosinus en tangens.
Oefen met exacte waarden
Leer de standaardhoeken vlot herkennen en toepassen, met directe feedback en uitwerkingen op Practicely.