Trigonometrie & Complexe getallen
De eenheidscirkel begrijpen: sinus en cosinus op één cirkel
8 juli 2026
De eenheidscirkel is een cirkel met straal $1$ en middelpunt in de oorsprong. Hij maakt sinus en cosinus in één klap visueel: je leest ze gewoon af als coördinaten. Ken je sin, cos en tan uit de rechthoekige driehoek al, dan is dit de brug naar álle hoeken, ook boven de $90^\circ$.
Cosinus en sinus zijn coördinaten
Zet een punt op de cirkel dat vanaf de positieve $x$-as een hoek $\theta$ maakt. Dan geldt:
$$\text{punt} = (\cos\theta,\ \sin\theta)$$
Dus: de cosinus is de $x$-coördinaat en de sinus is de $y$-coördinaat. Waarom? In de rechthoekige driehoek is $\cos = \tfrac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$. Op de eenheidscirkel is de schuine zijde (de straal) gelijk aan $1$, dus $\cos\theta$ is precies de horizontale afstand en $\sin\theta$ de verticale.
De vier kwadranten en hun tekens
Omdat $x$ en $y$ van teken wisselen als je rond de cirkel loopt, doen cosinus en sinus dat mee:
- Kwadrant I ($0^\circ$–$90^\circ$): $\cos > 0$, $\sin > 0$
- Kwadrant II ($90^\circ$–$180^\circ$): $\cos < 0$, $\sin > 0$
- Kwadrant III ($180^\circ$–$270^\circ$): $\cos < 0$, $\sin < 0$
- Kwadrant IV ($270^\circ$–$360^\circ$): $\cos > 0$, $\sin < 0$
De vier "assen-hoeken" zijn handig om uit je hoofd te kennen:
$$0^\circ:(1,0) \quad 90^\circ:(0,1) \quad 180^\circ:(-1,0) \quad 270^\circ:(0,-1)$$
De exacte waarden van 30°, 45° en 60°
| Hoek | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ |
|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ |
| $45^\circ$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $60^\circ$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
Merk op dat $30^\circ$ en $60^\circ$ elkaars spiegelbeeld zijn: de $\cos$ van de één is de $\sin$ van de ander.
Tangens op de eenheidscirkel
De tangens volgt direct uit de coördinaten:
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
Daarom bestaat $\tan$ niet bij $90^\circ$ en $270^\circ$: daar is $x = 0$ en delen door nul mag niet.
Voorbeeld: sin en cos van 150°
$150^\circ$ ligt in kwadrant II, met referentiehoek $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. In kwadrant II is de cosinus negatief en de sinus positief, dus:
$$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$
Je gebruikt dus de exacte waarden van $30^\circ$ en past alleen de tekens aan het kwadrant aan.
Veelgemaakte fouten
- Sinus en cosinus verwisselen. Onthoud de alfabetische volgorde: cosinus hoort bij de x (die eerst komt), sinus bij de $y$.
- De tekens per kwadrant vergeten. Bepaal altijd eerst in welk kwadrant de hoek ligt.
- De referentiehoek verkeerd nemen. De referentiehoek is de scherpe hoek met de $x$-as, niet met de $y$-as.
Oefen met de eenheidscirkel
Leer de kwadranten en exacte waarden vlot aflezen met gerichte oefenopgaven en directe uitwerkingen op Practicely.