Stelsels van vergelijkingen oplossen

Een stelsel van vergelijkingen is een set vergelijkingen met dezelfde onbekenden die tegelijk moeten kloppen. Bij twee vergelijkingen en twee onbekenden ($x$ en $y$) zoek je het punt waar beide kloppen. Er zijn twee standaardmethodes.

We lossen dit stelsel op:

$$\begin{cases} 2x + y = 8 \ x - y = 1 \end{cases}$$

Methode 1: eliminatie

Bij eliminatie tel je de vergelijkingen slim op of trek je ze af, zodat één onbekende wegvalt. Hier staat $+y$ in de eerste en $-y$ in de tweede — optellen laat $y$ verdwijnen:

$$(2x + y) + (x - y) = 8 + 1 ;\Rightarrow; 3x = 9 ;\Rightarrow; x = 3$$

Vul $x = 3$ in de tweede vergelijking in: $3 - y = 1 \Rightarrow y = 2$.

Methode 2: substitutie

Bij substitutie maak je één onbekende vrij en vul je die in de andere vergelijking in. Uit de tweede vergelijking volgt $x = y + 1$. Invullen in de eerste:

$$2(y + 1) + y = 8 ;\Rightarrow; 2y + 2 + y = 8 ;\Rightarrow; 3y = 6 ;\Rightarrow; y = 2$$

En dan $x = y + 1 = 3$. Dezelfde oplossing: $(x, y) = (3, 2)$.

Controleer altijd

Vul je oplossing in beide vergelijkingen in: $2(3) + 2 = 8$ ✓ en $3 - 2 = 1$ ✓. Klopt het in beide, dan heb je het goed.

Aantal oplossingen

• Eén oplossing: de lijnen snijden in één punt (het normale geval).
• Geen oplossing: de lijnen zijn evenwijdig.
• Oneindig veel: het zijn dezelfde lijn.

Grotere stelsels pak je efficiënter aan met matrices — zie matrices vermenigvuldigen en de determinant (een determinant van nul betekent geen unieke oplossing).