De determinant van een matrix berekenen

De determinant is een enkel getal dat je uit een vierkante matrix haalt. Het vertelt je onder andere of een matrix inverteerbaar is: is de determinant $0$, dan bestaat er geen inverse en heeft een stelsel vergelijkingen geen unieke oplossing.

De 2×2-determinant

Voor een $2 \times 2$-matrix is de formule kort. Neem:

$$A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$$

Dan is de determinant het product van de hoofddiagonaal min het product van de nevendiagonaal:

$$\det(A) = ad - bc$$

Een concreet voorbeeld:

$$\det\begin{pmatrix} 3 & 5 \ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2$$

De 3×3-determinant

Bij een $3 \times 3$-matrix gebruik je ontwikkeling naar de eerste rij. Je loopt de bovenste rij langs en vermenigvuldigt elk element met de $2 \times 2$-determinant die overblijft als je die rij en kolom wegstreept — met een afwisselend plus- en minteken:

$$\det\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} = a,(ei - fh) - b,(di - fg) + c,(dh - eg)$$

Let goed op dat middelste minteken; dat is de fout die het vaakst gemaakt wordt.

Uitgewerkt voorbeeld

$$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} = 1,(4\cdot6 - 5\cdot0) - 2,(0\cdot6 - 5\cdot1) + 3,(0\cdot0 - 4\cdot1)$$

$$= 1,(24) - 2,(-5) + 3,(-4) = 24 + 10 - 12 = 22$$

Wat zegt de determinant?

• $\det(A) \neq 0$: de matrix is inverteerbaar; het bijbehorende stelsel heeft één oplossing.
• $\det(A) = 0$: de matrix is singulier; geen inverse, en de rijen/kolommen zijn lineair afhankelijk.
• In het platte vlak geeft $|\det|$ bovendien de oppervlakte-schaal van de transformatie.

De determinant bouwt voort op het rekenen met matrices. Zit die basis nog niet vast? Lees matrices vermenigvuldigen, stap voor stap.