Matrices vermenigvuldigen, stap voor stap

Matrices vermenigvuldigen voelt in het begin vreemd: je vermenigvuldigt níet gewoon de getallen op dezelfde plek. In plaats daarvan combineer je rijen met kolommen. Zodra je dat patroon ziet, is het puur een kwestie van netjes werken.

De dimensieregel: mag het wel?

Je mag $A \cdot B$ alleen berekenen als het aantal kolommen van $A$ gelijk is aan het aantal rijen van $B$. Een $(m \times n)$-matrix keer een $(n \times p)$-matrix geeft een $(m \times p)$-matrix:

$$(m \times \underbrace{n) \cdot (n}_{\text{moeten gelijk zijn}} \times p) = (m \times p)$$

Kloppen die binnenste getallen niet, dan is de vermenigvuldiging niet gedefinieerd.

De rij-keer-kolom-methode

Elk getal in de uitkomst hoort bij één rij van $A$ en één kolom van $B$. Je berekent het door de elementen paarsgewijs te vermenigvuldigen en op te tellen:

$$c_ = (\text{rij } i \text{ van } A) \cdot (\text{kolom } j \text{ van } B)$$

Uitgewerkt voorbeeld

Neem:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$$

Het element linksboven van $A \cdot B$ is rij 1 van $A$ keer kolom 1 van $B$:

$$1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$$

Zo werk je alle vier de plekken af:

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$$

Let op: de volgorde telt!

Bij gewone getallen maakt de volgorde niet uit, maar bij matrices wel: meestal is $A \cdot B \neq B \cdot A$. Reken het bovenstaande voorbeeld maar eens andersom, dan krijg je een andere matrix. Matrixvermenigvuldiging is dus niet commutatief.

Veelgemaakte fouten

1. Element-voor-element vermenigvuldigen. Dat is niet hoe het werkt; het is altijd rij keer kolom.
2. De dimensieregel overslaan. Check eerst of het überhaupt mag.
3. De volgorde omdraaien. $A \cdot B$ en $B \cdot A$ zijn in het algemeen verschillend.

Matrixvermenigvuldiging is de basis voor onder andere het oplossen van stelsels vergelijkingen en transformaties. Het is vooral een kwestie van het patroon inslijpen, en dat gaat het snelst door veel voorbeelden te maken.