De sinusregel en cosinusregel uitgelegd

In een rechthoekige driehoek red je je met sinus, cosinus en tangens. Maar in een willekeurige driehoek (zonder rechte hoek) heb je twee krachtigere gereedschappen nodig: de sinusregel en de cosinusregel. Samen kun je er elke driehoek mee oplossen.

We noemen de hoeken $A$, $B$ en $C$, en de zijden ertegenover $a$, $b$ en $c$ (zijde $a$ ligt tegenover hoek $A$, enzovoort).

De sinusregel

De sinusregel koppelt elke zijde aan de sinus van de tegenoverliggende hoek:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Gebruik hem als je weet: twee hoeken en een zijde, of twee zijden en een hoek die tegenover een van die zijden ligt.

Voorbeeld: gegeven $A = 40^\circ$, $B = 60^\circ$ en $a = 8$. Zijde $b$ volgt uit:

$$\frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} ;\Rightarrow; b = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 10{,}8$$

De cosinusregel

De cosinusregel is een uitbreiding van de stelling van Pythagoras naar niet-rechthoekige driehoeken:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Gebruik hem als je weet: drie zijden (om een hoek te vinden), of twee zijden en de ingesloten hoek (om de derde zijde te vinden).

Voorbeeld: gegeven $a = 5$, $b = 7$ en de ingesloten hoek $C = 60^\circ$:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 70 \cdot 0{,}5 = 39$$

$$c = \sqrt{39} \approx 6{,}2$$

Welke kies je?

• Een zijde én zijn tegenoverliggende hoek bekend? → sinusregel.
• Drie zijden, of twee zijden met de ingesloten hoek? → cosinusregel.

Merk op dat als hoek $C = 90^\circ$ is, $\cos 90^\circ = 0$ en de cosinusregel gewoon Pythagoras wordt: $c^2 = a^2 + b^2$.

De exacte waarden van $\sin$ en $\cos$ die je hierbij vaak nodig hebt, staan in exacte waarden in de goniometrie; de basis van sinus en cosinus zelf lees je in sin, cos en tan uitgelegd.