De inverse van een 2x2-matrix berekenen

De inverse van een matrix $A$ is de matrix $A^{-1}$ waarvoor geldt $A \cdot A^{-1} = I$, met $I$ de eenheidsmatrix. Het is het matrix-equivalent van "delen": waar je bij getallen door $a$ deelt, vermenigvuldig je bij matrices met $A^{-1}$ — handig om stelsels vergelijkingen op te lossen.

Wanneer bestaat de inverse?

Niet elke matrix is inverteerbaar. De inverse bestaat alleen als de determinant niet nul is:

$$\det(A) \neq 0$$

Is $\det(A) = 0$, dan is de matrix singulier en heeft hij geen inverse. Weet je nog niet hoe je de determinant berekent? Lees de determinant van een matrix.

De formule voor een 2×2-matrix

Voor

$$A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$$

geldt:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}, \qquad \det(A) = ad - bc$$

Het patroon is makkelijk te onthouden: verwissel $a$ en $d$, draai het teken van $b$ en $c$, en deel alles door de determinant.

Uitgewerkt voorbeeld

Neem

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \ 2 & 6 \end{pmatrix}$$

Eerst de determinant:

$$\det(A) = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$$

Die is niet nul, dus de inverse bestaat. Nu swap-and-flip, gedeeld door 10:

$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}$$

Controleer je antwoord

Reken $A \cdot A^{-1}$ uit; je hoort de eenheidsmatrix te krijgen:

$$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Klopt dat niet, dan zit er een rekenfout in de determinant of het wisselen van de tekens. Het uitvermenigvuldigen zelf gaat met de rij-keer-kolom-methode uit matrices vermenigvuldigen.