Integreren voor beginners: de basis uitgelegd

Integreren is in zekere zin differentiëren in omgekeerde richting. Waar de afgeleide je de helling geeft, geeft de integraal je de oppervlakte onder een grafiek, en de oorspronkelijke functie terug.

De primitieve functie

Een primitieve $F(x)$ van een functie $f(x)$ is een functie waarvan de afgeleide weer $f(x)$ is. Oftewel: als $F'(x) = f(x)$, dan is $F$ een primitieve van $f$.

De standaardregel voor machten

Voor een macht van $x$ (met $n \neq -1$) geldt:

$$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} + C$$

In woorden: verhoog de exponent met 1 en deel door de nieuwe exponent. Dat is precies de omgekeerde beweging van de machtsregel bij afgeleiden.

De $+C$ is de integratieconstante: omdat een constante bij differentiëren wegvalt, weet je nooit precies welke constante er stond. Daarom voeg je bij een onbepaalde integraal altijd $+C$ toe.

Voorbeeld

Bereken $\int 3x^2 , dx$:

$$\int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = x^3 + C$$

Controle: de afgeleide van $x^3 + C$ is $3x^2$. Klopt.

Oppervlakte onder een grafiek

Met een bepaalde integraal bereken je de oppervlakte tussen de grafiek en de $x$-as van $x = a$ tot $x = b$:

$$\int_a^b f(x), dx = F(b) - F(a)$$

Hier valt de $+C$ weg, want hij komt er twee keer in voor en heft zichzelf op.

Veelgemaakte fouten

1. De $+C$ vergeten bij een onbepaalde integraal.
2. Delen door de oude exponent in plaats van de nieuwe ($n+1$).
3. De grenzen verwisselen: het is $F(b) - F(a)$, dus bovengrens min ondergrens.