[{"data":1,"prerenderedAt":891},["ShallowReactive",2],{"blog-stelling-van-pythagoras":3,"blog-related-stelling-van-pythagoras":230},{"id":4,"title":5,"body":6,"date":219,"description":220,"extension":221,"image":222,"meta":223,"navigation":224,"path":225,"seo":226,"stem":227,"topic":228,"__hash__":229},"blog\u002Fblog\u002Fstelling-van-pythagoras.md","De stelling van Pythagoras: uitleg, formule en voorbeelden",{"type":7,"value":8,"toc":208},"minimark",[9,18,23,30,33,44,47,51,54,57,60,63,67,70,73,76,79,82,85,92,96,99,102,111,115,118,140,143,147,185,189,201],[10,11,12,13,17],"p",{},"De ",[14,15,16],"strong",{},"stelling van Pythagoras"," is waarschijnlijk de bekendste formule uit de wiskunde, en ook een\nvan de nuttigste. Zodra je ergens een rechte hoek ziet, kun je er een lengte mee uitrekenen die je\nniet kunt opmeten.",[19,20,22],"h2",{"id":21},"de-formule","De formule",[10,24,25,26,29],{},"In een ",[14,27,28],{},"rechthoekige"," driehoek geldt:",[10,31,32],{},"$$a^2 + b^2 = c^2$$",[10,34,35,36,39,40,43],{},"Daarbij zijn $a$ en $b$ de ",[14,37,38],{},"rechthoekszijden"," (de twee zijden die de rechte hoek insluiten) en is\n$c$ de ",[14,41,42],{},"schuine zijde"," of hypotenusa: de zijde tegenover de rechte hoek. De schuine zijde is\naltijd de langste.",[10,45,46],{},"De volgorde van $a$ en $b$ maakt niet uit, maar $c$ staat vast. Dat is de hele truc: eerst kijken\nwelke zijde tegenover de rechte hoek ligt.",[19,48,50],{"id":49},"voorbeeld-1-de-schuine-zijde-berekenen","Voorbeeld 1: de schuine zijde berekenen",[10,52,53],{},"Een driehoek heeft rechthoekszijden van $3$ en $4$. Hoe lang is de schuine zijde?",[10,55,56],{},"$$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$",[10,58,59],{},"$$c = \\sqrt{25} = 5$$",[10,61,62],{},"De schuine zijde is $5$. Deze $3$-$4$-$5$-driehoek is een klassieker, net als $5$-$12$-$13$ en\n$8$-$15$-$17$: allemaal rechthoekige driehoeken met gehele zijden.",[19,64,66],{"id":65},"voorbeeld-2-een-rechthoekszijde-berekenen","Voorbeeld 2: een rechthoekszijde berekenen",[10,68,69],{},"Nu andersom. Een ladder van $5$ meter staat tegen een muur, met de voet $1{,}5$ meter van de muur.\nHoe hoog reikt de ladder?",[10,71,72],{},"De ladder is hier de schuine zijde, dus $c = 5$ en $a = 1{,}5$. Je zoekt $b$:",[10,74,75],{},"$$1{,}5^2 + b^2 = 5^2$$",[10,77,78],{},"$$2{,}25 + b^2 = 25$$",[10,80,81],{},"$$b^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75$$",[10,83,84],{},"$$b = \\sqrt{22{,}75} \\approx 4{,}77$$",[10,86,87,88,91],{},"De ladder reikt ongeveer $4{,}77$ meter hoog. Merk op dat je hier ",[14,89,90],{},"aftrekt"," in plaats van optelt,\nomdat je een korte zijde zoekt en niet de langste.",[19,93,95],{"id":94},"voorbeeld-3-afstand-tussen-twee-punten","Voorbeeld 3: afstand tussen twee punten",[10,97,98],{},"De afstandsformule uit de analytische meetkunde is gewoon Pythagoras in een jasje. De afstand\ntussen $A(1, 2)$ en $B(4, 6)$:",[10,100,101],{},"$$AB = \\sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$$",[10,103,104,105,110],{},"Het horizontale verschil en het verticale verschil vormen samen de rechthoekszijden, de afstand is\nde schuine zijde. Dezelfde redenering gebruik je bij de lengte van\n",[106,107,109],"a",{"href":108},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fvectoren-optellen-uitleg","vectoren",".",[19,112,114],{"id":113},"is-een-driehoek-rechthoekig-de-omgekeerde-stelling","Is een driehoek rechthoekig? De omgekeerde stelling",[10,116,117],{},"De stelling werkt ook de andere kant op. Vul de drie zijden in en kijk of het klopt:",[119,120,121,128,134],"ul",{},[122,123,124,125,110],"li",{},"Klopt $a^2 + b^2 = c^2$? Dan is de driehoek ",[14,126,127],{},"rechthoekig",[122,129,130,131,110],{},"Is $a^2 + b^2 > c^2$? Dan is de grootste hoek ",[14,132,133],{},"scherp",[122,135,136,137,110],{},"Is $a^2 + b^2 \u003C c^2$? Dan is de grootste hoek ",[14,138,139],{},"stomp",[10,141,142],{},"Test: is een driehoek met zijden $6$, $8$ en $11$ rechthoekig? $6^2 + 8^2 = 100$, maar $11^2 = 121$.\nNiet gelijk, dus niet rechthoekig, en omdat $100 \u003C 121$ is de grootste hoek stomp.",[19,144,146],{"id":145},"veelgemaakte-fouten","Veelgemaakte fouten",[148,149,150,156,162,168,179],"ol",{},[122,151,152,155],{},[14,153,154],{},"De verkeerde zijde als $c$ nemen."," $c$ is altijd de zijde tegenover de rechte hoek, niet\n\"de laatste die je gegeven krijgt\". Teken de driehoek en zet de rechte hoek erin.",[122,157,158,161],{},[14,159,160],{},"De wortel vergeten."," Je berekent eerst $c^2$. Dat is nog niet je antwoord: trek altijd de\nwortel om $c$ zelf te krijgen.",[122,163,164,167],{},[14,165,166],{},"Optellen terwijl je moet aftrekken."," Zoek je een rechthoekszijde, dan is het\n$b^2 = c^2 - a^2$. Kom je op een negatief getal uit, dan heb je $c$ verkeerd gekozen.",[122,169,170,173,174,178],{},[14,171,172],{},"Pythagoras gebruiken zonder rechte hoek."," Zonder rechte hoek geldt de stelling niet. Dan heb\nje de ",[106,175,177],{"href":176},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fsinusregel-cosinusregel","sinusregel of cosinusregel"," nodig.",[122,180,181,184],{},[14,182,183],{},"Te vroeg afronden."," Reken door met $\\sqrt{22{,}75}$ en rond pas in je eindantwoord af,\nanders stapelen afrondfouten zich op.",[19,186,188],{"id":187},"wanneer-gebruik-je-wat","Wanneer gebruik je wat?",[10,190,191,192,195,196,200],{},"Heb je twee zijden van een rechthoekige driehoek en zoek je de derde? Pythagoras. Zoek je een\n",[14,193,194],{},"hoek",", dan heb je ",[106,197,199],{"href":198},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fsin-cos-tan-uitleg","sinus, cosinus of tangens"," nodig.\nDie twee vullen elkaar aan: Pythagoras doet zijden, goniometrie doet hoeken.",[202,203,205],"cta-practicely",{"title":204},"Oefen met Pythagoras",[10,206,207],{},"Van simpele driehoeken tot toepassingen met ladders, diagonalen en coördinaten: oefen tot je in\néén blik ziet welke zijde de schuine is, met directe feedback en volledige uitwerkingen.",{"title":209,"searchDepth":210,"depth":210,"links":211},"",2,[212,213,214,215,216,217,218],{"id":21,"depth":210,"text":22},{"id":49,"depth":210,"text":50},{"id":65,"depth":210,"text":66},{"id":94,"depth":210,"text":95},{"id":113,"depth":210,"text":114},{"id":145,"depth":210,"text":146},{"id":187,"depth":210,"text":188},"2026-08-21","a² + b² = c² in gewone taal: wanneer je de stelling van Pythagoras gebruikt, hoe je een schuine of rechthoekszijde berekent, en de fouten die iedereen maakt.","md",null,{},true,"\u002Fblog\u002Fstelling-van-pythagoras",{"title":5,"description":220},"blog\u002Fstelling-van-pythagoras","Meetkunde","3_aSlr6RGFBx15gvnmOZ2JsyTWYtj2PaXxID98WSQME",[231,548,783],{"id":232,"title":233,"body":234,"date":219,"description":541,"extension":221,"image":222,"meta":542,"navigation":224,"path":543,"seo":544,"stem":545,"topic":546,"__hash__":547},"blog\u002Fblog\u002Fongelijkheden-oplossen.md","Ongelijkheden oplossen: van omklappen tot tekenschema",{"type":7,"value":235,"toc":533},[236,247,251,258,268,275,279,282,285,288,291,294,300,304,307,313,319,322,333,339,342,359,365,368,371,375,378,389,400,403,464,467,470,477,479,511,515,527],[10,237,238,239,242,243,246],{},"Een ",[14,240,241],{},"ongelijkheid"," oplossen lijkt op een vergelijking oplossen, maar met één belangrijk verschil:\nhet antwoord is geen los getal, maar een heel ",[14,244,245],{},"gebied"," van getallen. En er is precies één regel\ndie iedereen weleens vergeet.",[19,248,250],{"id":249},"de-gouden-regel-het-teken-klapt-om","De gouden regel: het teken klapt om",[10,252,253,254,257],{},"Bij een ongelijkheid mag je optellen, aftrekken, en vermenigvuldigen of delen door een ",[14,255,256],{},"positief","\ngetal, net als bij een gewone vergelijking. Maar:",[259,260,261],"blockquote",{},[10,262,263,264,267],{},"Vermenigvuldig of deel je door een ",[14,265,266],{},"negatief"," getal, dan draait het ongelijkheidsteken om.",[10,269,270,271,274],{},"Waarom? Kijk naar $2 \u003C 5$. Vermenigvuldig beide kanten met $-1$ en je krijgt $-2$ en $-5$. Nu is\n$-2$ juist ",[14,272,273],{},"groter"," dan $-5$. De volgorde is omgekeerd, dus het teken moet mee omklappen:\n$-2 > -5$.",[19,276,278],{"id":277},"lineaire-ongelijkheden","Lineaire ongelijkheden",[10,280,281],{},"Los op: $-3x + 4 \\leq 13$.",[10,283,284],{},"$$-3x \\leq 9$$",[10,286,287],{},"Nu delen door $-3$, dus het teken klapt om:",[10,289,290],{},"$$x \\geq -3$$",[10,292,293],{},"De oplossing is alles vanaf $-3$: $x \\in [-3, \\rightarrow\\rangle$.",[10,295,296,299],{},[14,297,298],{},"Controle:"," vul een getal in dat volgens jou klopt, bijvoorbeeld $x = 0$. Dan is\n$-3 \\cdot 0 + 4 = 4$, en $4 \\leq 13$ klopt. Vul nu een getal in dat er buiten valt, $x = -10$:\n$-3 \\cdot -10 + 4 = 34$, en $34 \\leq 13$ klopt niet. Je oplossing is dus de goede kant op.",[19,301,303],{"id":302},"kwadratische-ongelijkheden-eerst-de-grens-dan-het-gebied","Kwadratische ongelijkheden: eerst de grens, dan het gebied",[10,305,306],{},"Bij $x^2 - x - 6 > 0$ werkt \"even omschrijven\" niet meer. Gebruik dit vaste stappenplan:",[10,308,309,312],{},[14,310,311],{},"Stap 1: alles naar één kant, gelijkstellen aan $0$."," Dat staat er al.",[10,314,315,318],{},[14,316,317],{},"Stap 2: los de bijbehorende vergelijking op."," Deze grenzen heten de nulpunten.",[10,320,321],{},"$$x^2 - x - 6 = 0$$",[10,323,324,328,329,110],{},[106,325,327],{"href":326},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fontbinden-in-factoren","Ontbinden"," geeft $(x - 3)(x + 2) = 0$, dus $x = 3$ of\n$x = -2$. Lukt ontbinden niet, gebruik dan de ",[106,330,332],{"href":331},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fabc-formule-uitleg","abc-formule",[10,334,335,338],{},[14,336,337],{},"Stap 3: zet de nulpunten op een getallenlijn"," en bepaal per gebied het teken.",[10,340,341],{},"De gebieden zijn $x \u003C -2$, $-2 \u003C x \u003C 3$ en $x > 3$. Kies in elk gebied een makkelijk testgetal:",[119,343,344,349,354],{},[122,345,346,347],{},"$x = -3$: $9 + 3 - 6 = 6 > 0$, dus ",[14,348,256],{},[122,350,351,352],{},"$x = 0$: $0 - 0 - 6 = -6 \u003C 0$, dus ",[14,353,266],{},[122,355,356,357],{},"$x = 4$: $16 - 4 - 6 = 6 > 0$, dus ",[14,358,256],{},[10,360,361,364],{},[14,362,363],{},"Stap 4: lees af wat gevraagd wordt."," We zochten $> 0$, dus de positieve gebieden:",[10,366,367],{},"$$x \u003C -2 \\quad \\text{of} \\quad x > 3$$",[10,369,370],{},"Denk aan de vorm van de parabool als controle: $a > 0$ betekent een dal, dus de grafiek ligt buiten\nde nulpunten boven de $x$-as. Dat klopt met wat we vonden.",[19,372,374],{"id":373},"gebroken-ongelijkheden-let-op-de-noemer","Gebroken ongelijkheden: let op de noemer",[10,376,377],{},"Los op: $\\dfrac{x - 1}{x + 2} \\geq 0$.",[10,379,380,381,384,385,388],{},"Hier mag je ",[14,382,383],{},"niet"," kruislings vermenigvuldigen, want je weet niet of $x + 2$ positief of negatief\nis, dus je weet niet of het teken omklapt. Gebruik in plaats daarvan een ",[14,386,387],{},"tekenschema",":",[119,390,391,394],{},[122,392,393],{},"De teller is $0$ bij $x = 1$.",[122,395,396,397,110],{},"De noemer is $0$ bij $x = -2$, daar is de breuk ",[14,398,399],{},"niet gedefinieerd",[10,401,402],{},"Zet beide waarden op de getallenlijn en test per gebied:",[404,405,406,425],"table",{},[407,408,409],"thead",{},[410,411,412,416,419,422],"tr",{},[413,414,415],"th",{},"Gebied",[413,417,418],{},"$x - 1$",[413,420,421],{},"$x + 2$",[413,423,424],{},"breuk",[426,427,428,442,453],"tbody",{},[410,429,430,434,437,439],{},[431,432,433],"td",{},"$x \u003C -2$",[431,435,436],{},"$-$",[431,438,436],{},[431,440,441],{},"$+$",[410,443,444,447,449,451],{},[431,445,446],{},"$-2 \u003C x \u003C 1$",[431,448,436],{},[431,450,441],{},[431,452,436],{},[410,454,455,458,460,462],{},[431,456,457],{},"$x > 1$",[431,459,441],{},[431,461,441],{},[431,463,441],{},[10,465,466],{},"We zoeken $\\geq 0$, dus de positieve gebieden plus het punt waar de breuk $0$ wordt:",[10,468,469],{},"$$x \u003C -2 \\quad \\text{of} \\quad x \\geq 1$$",[10,471,472,473,476],{},"Let op het verschil in de haakjes: bij $x = 1$ is de breuk precies $0$ en dat mag ($\\geq$), maar\n$x = -2$ doet ",[14,474,475],{},"nooit"," mee, want daar deel je door nul.",[19,478,146],{"id":145},[148,480,481,487,493,499,505],{},[122,482,483,486],{},[14,484,485],{},"Het teken niet omklappen"," bij delen door een negatief getal. Dit is verreweg de meestgemaakte\nfout. Twijfel je? Vul één getal in ter controle.",[122,488,489,492],{},[14,490,491],{},"Delen door een variabele."," Bij $x^2 > 3x$ mag je niet zomaar door $x$ delen: $x$ kan negatief\nzijn, of nul. Breng alles naar één kant: $x^2 - 3x > 0$, dus $x(x - 3) > 0$.",[122,494,495,498],{},[14,496,497],{},"De noemer-nulpunten vergeten"," bij gebroken ongelijkheden. Ze zijn geen oplossing, maar ze\nverdelen de getallenlijn wel.",[122,500,501,504],{},[14,502,503],{},"$\\leq$ en $\u003C$ door elkaar halen."," Staat er een streepje onder het teken, dan hoort de grens\nerbij. Bij een noemer nooit.",[122,506,507,510],{},[14,508,509],{},"Alleen de nulpunten opschrijven."," De nulpunten zijn de grenzen, niet het antwoord. Het\nantwoord is altijd een gebied.",[19,512,514],{"id":513},"kort-samengevat","Kort samengevat",[10,516,517,518,522,523,110],{},"Lineair? Herleiden en opletten bij het delen door een negatief getal. Kwadratisch of gebroken?\nNulpunten zoeken, getallenlijn tekenen, per gebied testen, en pas dan aflezen. Dat schema werkt\nook bij ongelijkheden met ",[106,519,521],{"href":520},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fmachten-en-wortels","wortels"," of\n",[106,524,526],{"href":525},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Flogaritmen-uitleg","logaritmen",[202,528,530],{"title":529},"Oefen met ongelijkheden",[10,531,532],{},"Lineair, kwadratisch en gebroken: oefen tot het tekenschema vanzelf gaat, met directe feedback en\nuitwerkingen op Practicely.",{"title":209,"searchDepth":210,"depth":210,"links":534},[535,536,537,538,539,540],{"id":249,"depth":210,"text":250},{"id":277,"depth":210,"text":278},{"id":302,"depth":210,"text":303},{"id":373,"depth":210,"text":374},{"id":145,"depth":210,"text":146},{"id":513,"depth":210,"text":514},"Hoe je lineaire, kwadratische en gebroken ongelijkheden oplost, wanneer het teken omklapt, en hoe je een tekenschema opzet zonder fouten.",{},"\u002Fblog\u002Fongelijkheden-oplossen",{"title":233,"description":541},"blog\u002Fongelijkheden-oplossen","Precalculus & Algebra","w6nKPUlqXtCxQ8N_gIsJxtjarUdldbth6QQkMyTE5qo",{"id":549,"title":550,"body":551,"date":219,"description":776,"extension":221,"image":222,"meta":777,"navigation":224,"path":778,"seo":779,"stem":780,"topic":781,"__hash__":782},"blog\u002Fblog\u002Fraaklijn-opstellen-afgeleide.md","Raaklijn opstellen aan een grafiek: het stappenplan",{"type":7,"value":552,"toc":767},[553,556,560,571,574,577,581,584,598,602,605,611,617,623,629,632,635,640,644,647,652,661,664,669,674,677,681,687,690,693,696,699,702,709,712,714,746,750,761],[10,554,555],{},"\"Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x = 2$.\" Deze\nvraag komt in vrijwel elk examen terug. Het goede nieuws: er is één stappenplan dat altijd werkt.",[19,557,559],{"id":558},"het-idee-achter-een-raaklijn","Het idee achter een raaklijn",[10,561,12,562,566,567,570],{},[106,563,565],{"href":564},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fafgeleide-uitleg","afgeleide"," $f'(x)$ geeft de ",[14,568,569],{},"helling"," van de grafiek in\nelk punt. Een raaklijn is de rechte lijn die de grafiek in één punt aanraakt en daar precies\ndezelfde helling heeft. Dus:",[10,572,573],{},"$$\\text{richtingscoëfficiënt van de raaklijn} = f'(a)$$",[10,575,576],{},"Verder is een raaklijn gewoon een rechte lijn, dus hij heeft de vorm $y = ax + b$.",[19,578,580],{"id":579},"het-stappenplan","Het stappenplan",[10,582,583],{},"Voor de raaklijn aan $f$ in het punt met $x = a$:",[148,585,586,589,592,595],{},[122,587,588],{},"Bereken $f(a)$: de $y$-coördinaat van het raakpunt.",[122,590,591],{},"Bepaal $f'(x)$.",[122,593,594],{},"Bereken $f'(a)$: dit is de richtingscoëfficiënt.",[122,596,597],{},"Vul het raakpunt $(a, f(a))$ in de vorm $y = f'(a) \\cdot x + b$ en los $b$ op.",[19,599,601],{"id":600},"voorbeeld-1","Voorbeeld 1",[10,603,604],{},"Stel de raaklijn op aan $f(x) = x^2 - 4x + 5$ in het punt met $x = 3$.",[10,606,607,610],{},[14,608,609],{},"Stap 1."," $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$, dus het raakpunt is $(3, 2)$.",[10,612,613,616],{},[14,614,615],{},"Stap 2."," $f'(x) = 2x - 4$.",[10,618,619,622],{},[14,620,621],{},"Stap 3."," $f'(3) = 6 - 4 = 2$, dus de richtingscoëfficiënt is $2$.",[10,624,625,628],{},[14,626,627],{},"Stap 4."," De lijn is $y = 2x + b$. Invullen van $(3, 2)$:",[10,630,631],{},"$$2 = 2 \\cdot 3 + b \\quad \\Rightarrow \\quad b = -4$$",[10,633,634],{},"De raaklijn is $y = 2x - 4$.",[10,636,637,639],{},[14,638,298],{}," vul $x = 3$ in de gevonden lijn in. Je krijgt $2$, precies de $y$-waarde van het\nraakpunt. Klopt dat niet, dan zit er een rekenfout in stap 4.",[19,641,643],{"id":642},"voorbeeld-2-met-de-kettingregel","Voorbeeld 2: met de kettingregel",[10,645,646],{},"Stel de raaklijn op aan $f(x) = \\sqrt{2x + 1}$ in het punt met $x = 4$.",[10,648,649,651],{},[14,650,609],{}," $f(4) = \\sqrt{9} = 3$, dus het raakpunt is $(4, 3)$.",[10,653,654,656,657,388],{},[14,655,615],{}," Schrijf eerst als macht: $f(x) = (2x+1)^{1\u002F2}$. Met de\n",[106,658,660],{"href":659},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fkettingregel-uitleg","kettingregel",[10,662,663],{},"$$f'(x) = \\tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1\u002F2} \\cdot 2 = \\frac{1}{\\sqrt{2x+1}}$$",[10,665,666,668],{},[14,667,621],{}," $f'(4) = \\dfrac{1}{\\sqrt{9}} = \\dfrac{1}{3}$.",[10,670,671,673],{},[14,672,627],{}," $y = \\tfrac{1}{3}x + b$, en invullen van $(4, 3)$ geeft $3 = \\tfrac{4}{3} + b$, dus\n$b = \\tfrac{5}{3}$.",[10,675,676],{},"De raaklijn is $y = \\tfrac{1}{3}x + \\tfrac{5}{3}$.",[19,678,680],{"id":679},"de-lastige-variant-raaklijn-door-een-punt-buiten-de-grafiek","De lastige variant: raaklijn door een punt buiten de grafiek",[10,682,683,684,686],{},"Soms is het raakpunt ",[14,685,383],{}," gegeven. Bijvoorbeeld: welke raaklijnen aan $f(x) = x^2$ gaan door\nhet punt $(1, -3)$?",[10,688,689],{},"Let op: $(1, -3)$ ligt niet op de grafiek, want $f(1) = 1$. Noem het onbekende raakpunt\n$(p, p^2)$. De richtingscoëfficiënt is dan $f'(p) = 2p$.",[10,691,692],{},"De lijn door $(p, p^2)$ en $(1, -3)$ heeft ook een richtingscoëfficiënt, namelijk het verschil in\n$y$ gedeeld door het verschil in $x$. Die twee moeten gelijk zijn:",[10,694,695],{},"$$\\frac{p^2 - (-3)}{p - 1} = 2p$$",[10,697,698],{},"$$p^2 + 3 = 2p(p - 1) = 2p^2 - 2p$$",[10,700,701],{},"$$0 = p^2 - 2p - 3 = (p - 3)(p + 1)$$",[10,703,704,705,708],{},"Dus $p = 3$ of $p = -1$: er zijn ",[14,706,707],{},"twee"," raaklijnen. Voor $p = 3$: raakpunt $(3, 9)$, helling $6$,\nlijn $y = 6x - 9$. Voor $p = -1$: raakpunt $(-1, 1)$, helling $-2$, lijn $y = -2x - 1$.",[10,710,711],{},"Herken je dit type? Het gegeven punt ligt niet op de grafiek. Dan werk je altijd met een onbekend\nraakpunt $p$.",[19,713,146],{"id":145},[148,715,716,722,728,734,740],{},[122,717,718,721],{},[14,719,720],{},"$f(a)$ en $f'(a)$ verwisselen."," $f(a)$ is de hoogte van het raakpunt, $f'(a)$ is de helling.\nZet ze naast elkaar op papier voordat je invult.",[122,723,724,727],{},[14,725,726],{},"Het raakpunt niet invullen."," Zonder stap 4 heb je alleen de richtingscoëfficiënt, en dat is\nnog geen vergelijking.",[122,729,730,733],{},[14,731,732],{},"De $x$-waarde in de afgeleide vergeten."," $f'(x) = 2x - 4$ is geen richtingscoëfficiënt,\n$f'(3) = 2$ wel.",[122,735,736,739],{},[14,737,738],{},"Aannemen dat het gegeven punt het raakpunt is."," Controleer altijd of het punt op de grafiek\nligt door de $x$-waarde in $f$ in te vullen.",[122,741,742,745],{},[14,743,744],{},"Denken dat er één raaklijn is."," Bij een punt buiten de grafiek zijn er meestal twee.",[19,747,749],{"id":748},"verwante-vragen","Verwante vragen",[10,751,752,753,756,757,760],{},"Zoek je waar de raaklijn ",[14,754,755],{},"horizontaal"," is? Dan los je $f'(x) = 0$ op: dat zijn de toppen. Zoek je\nwaar de raaklijn evenwijdig loopt aan een gegeven lijn $y = 3x + 1$? Dan los je $f'(x) = 3$ op.\nStaat de raaklijn ",[14,758,759],{},"loodrecht"," op een lijn met helling $m$? Dan geldt $f'(x) = -\\tfrac{1}{m}$.",[202,762,764],{"title":763},"Oefen met raaklijnen",[10,765,766],{},"Van standaardvragen tot raaklijnen door een punt buiten de grafiek: oefen het stappenplan tot het\nautomatisch gaat, met directe feedback en volledige uitwerkingen.",{"title":209,"searchDepth":210,"depth":210,"links":768},[769,770,771,772,773,774,775],{"id":558,"depth":210,"text":559},{"id":579,"depth":210,"text":580},{"id":600,"depth":210,"text":601},{"id":642,"depth":210,"text":643},{"id":679,"depth":210,"text":680},{"id":145,"depth":210,"text":146},{"id":748,"depth":210,"text":749},"Hoe je met de afgeleide de vergelijking van een raaklijn opstelt: richtingscoëfficiënt bepalen, punt invullen, en de valkuilen bij raaklijnen door een gegeven punt.",{},"\u002Fblog\u002Fraaklijn-opstellen-afgeleide",{"title":550,"description":776},"blog\u002Fraaklijn-opstellen-afgeleide","Afgeleiden","bVl2_1LVRIosGQ7K_lkI-0S83flrMtDvUXxJtOKj64g",{"id":784,"title":785,"body":786,"date":883,"description":884,"extension":221,"image":222,"meta":885,"navigation":224,"path":886,"seo":887,"stem":888,"topic":889,"__hash__":890},"blog\u002Fblog\u002Fbreuken-rekenen-uitleg.md","Rekenen met breuken: optellen, aftrekken, keer en delen",{"type":7,"value":787,"toc":876},[788,791,795,802,805,808,811,815,821,824,828,835,838,842,845,847,870],[10,789,790],{},"Breuken zijn de basis van bijna alle rekenen dat daarna komt. Zodra je de vier bewerkingen beheerst,\nwordt de rest een stuk makkelijker. We lopen ze één voor één langs.",[19,792,794],{"id":793},"optellen-en-aftrekken-eerst-gelijke-noemers","Optellen en aftrekken: eerst gelijke noemers",[10,796,797,798,801],{},"Je kunt breuken pas optellen of aftrekken als de ",[14,799,800],{},"noemers"," (de onderste getallen) gelijk zijn. Maak\nze gelijk door kruiselings te vermenigvuldigen:",[10,803,804],{},"$$\\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} = \\frac{1 \\cdot 4}{12} + \\frac{1 \\cdot 3}{12} = \\frac{4}{12} + \\frac{3}{12} = \\frac{7}{12}$$",[10,806,807],{},"Aftrekken gaat precies zo, maar dan trek je de tellers af:",[10,809,810],{},"$$\\frac{3}{4} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{12} - \\frac{2}{12} = \\frac{7}{12}$$",[19,812,814],{"id":813},"vermenigvuldigen-recht-op-recht","Vermenigvuldigen: recht op recht",[10,816,817,818,820],{},"Bij vermenigvuldigen hoef je de noemers ",[14,819,383],{}," gelijk te maken. Je vermenigvuldigt gewoon teller met\nteller en noemer met noemer:",[10,822,823],{},"$$\\frac{2}{3} \\times \\frac{4}{5} = \\frac{2 \\cdot 4}{3 \\cdot 5} = \\frac{8}{15}$$",[19,825,827],{"id":826},"delen-vermenigvuldig-met-het-omgekeerde","Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde",[10,829,830,831,834],{},"Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de ",[14,832,833],{},"omgekeerde"," breuk (teller en noemer\nverwisseld):",[10,836,837],{},"$$\\frac{2}{3} \\div \\frac{4}{5} = \\frac{2}{3} \\times \\frac{5}{4} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}$$",[19,839,841],{"id":840},"vergeet-niet-te-vereenvoudigen","Vergeet niet te vereenvoudigen",[10,843,844],{},"Deel teller en noemer altijd door hun grootste gemene deler, zodat je antwoord zo eenvoudig mogelijk\nis. In het voorbeeld hierboven werd $\\frac{10}{12}$ zo $\\frac{5}{6}$.",[19,846,146],{"id":145},[148,848,849,859,865],{},[122,850,851,854,855,858],{},[14,852,853],{},"Noemers optellen bij + en −."," $\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3}$ is ",[856,857,383],"em",{}," $\\frac{2}{5}$. Maak eerst de\nnoemers gelijk.",[122,860,861,864],{},[14,862,863],{},"Noemers gelijk maken bij ×."," Dat hoeft niet — vermenigvuldigen gaat recht op recht.",[122,866,867],{},[14,868,869],{},"Het omgekeerde vergeten bij delen.",[202,871,873],{"title":872},"Oefen met breuken",[10,874,875],{},"Optellen, aftrekken, keer en delen: oefen breuken stap voor stap met hints en volledige uitwerkingen\nop Practicely.",{"title":209,"searchDepth":210,"depth":210,"links":877},[878,879,880,881,882],{"id":793,"depth":210,"text":794},{"id":813,"depth":210,"text":814},{"id":826,"depth":210,"text":827},{"id":840,"depth":210,"text":841},{"id":145,"depth":210,"text":146},"2026-08-06","De vier basisbewerkingen met breuken, helder uitgelegd. Met de regel voor gelijke noemers, vermenigvuldigen en delen, plus voorbeelden.",{},"\u002Fblog\u002Fbreuken-rekenen-uitleg",{"title":785,"description":884},"blog\u002Fbreuken-rekenen-uitleg","Breuken","92Qf_BLgoDWHBfkiv6mUBXZyHXp__31ctmDeagGDBV4",1788471485416]