[{"data":1,"prerenderedAt":699},["ShallowReactive",2],{"blog-matrices-vermenigvuldigen":3,"blog-related-matrices-vermenigvuldigen":151},{"id":4,"title":5,"body":6,"date":140,"description":141,"extension":142,"image":143,"meta":144,"navigation":145,"path":146,"seo":147,"stem":148,"topic":149,"__hash__":150},"blog\u002Fblog\u002Fmatrices-vermenigvuldigen.md","Matrices vermenigvuldigen, stap voor stap",{"type":7,"value":8,"toc":131},"minimark",[9,18,23,34,37,40,44,55,58,62,65,68,71,74,77,80,84,95,99,121,124],[10,11,12,13,17],"p",{},"Matrices vermenigvuldigen voelt in het begin vreemd: je vermenigvuldigt níet gewoon de getallen op\ndezelfde plek. In plaats daarvan combineer je ",[14,15,16],"strong",{},"rijen met kolommen",". Zodra je dat patroon ziet,\nis het puur een kwestie van netjes werken.",[19,20,22],"h2",{"id":21},"de-dimensieregel-mag-het-wel","De dimensieregel: mag het wel?",[10,24,25,26,29,30,33],{},"Je mag $A \\cdot B$ alleen berekenen als het ",[14,27,28],{},"aantal kolommen van $A$"," gelijk is aan het ",[14,31,32],{},"aantal\nrijen van $B$",". Een $(m \\times n)$-matrix keer een $(n \\times p)$-matrix geeft een\n$(m \\times p)$-matrix:",[10,35,36],{},"$$(m \\times \\underbrace{n) \\cdot (n}_{\\text{moeten gelijk zijn}} \\times p) = (m \\times p)$$",[10,38,39],{},"Kloppen die binnenste getallen niet, dan is de vermenigvuldiging niet gedefinieerd.",[19,41,43],{"id":42},"de-rij-keer-kolom-methode","De rij-keer-kolom-methode",[10,45,46,47,50,51,54],{},"Elk getal in de uitkomst hoort bij één ",[14,48,49],{},"rij van $A$"," en één ",[14,52,53],{},"kolom van $B$",". Je berekent het\ndoor de elementen paarsgewijs te vermenigvuldigen en op te tellen:",[10,56,57],{},"$$c_ = (\\text{rij } i \\text{ van } A) \\cdot (\\text{kolom } j \\text{ van } B)$$",[19,59,61],{"id":60},"uitgewerkt-voorbeeld","Uitgewerkt voorbeeld",[10,63,64],{},"Neem:",[10,66,67],{},"$$A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\end{pmatrix}, \\qquad B = \\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\end{pmatrix}$$",[10,69,70],{},"Het element linksboven van $A \\cdot B$ is rij 1 van $A$ keer kolom 1 van $B$:",[10,72,73],{},"$$1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 7 = 5 + 14 = 19$$",[10,75,76],{},"Zo werk je alle vier de plekken af:",[10,78,79],{},"$$A \\cdot B = \\begin{pmatrix} 1\\cdot5 + 2\\cdot7 & 1\\cdot6 + 2\\cdot8 \\ 3\\cdot5 + 4\\cdot7 & 3\\cdot6 + 4\\cdot8 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\end{pmatrix}$$",[19,81,83],{"id":82},"let-op-de-volgorde-telt","Let op: de volgorde telt!",[10,85,86,87,90,91,94],{},"Bij gewone getallen maakt de volgorde niet uit, maar bij matrices ",[14,88,89],{},"wel",": meestal is\n$A \\cdot B \\neq B \\cdot A$. Reken het bovenstaande voorbeeld maar eens andersom, dan krijg je een\nandere matrix. Matrixvermenigvuldiging is dus ",[14,92,93],{},"niet commutatief",".",[19,96,98],{"id":97},"veelgemaakte-fouten","Veelgemaakte fouten",[100,101,102,109,115],"ol",{},[103,104,105,108],"li",{},[14,106,107],{},"Element-voor-element vermenigvuldigen."," Dat is niet hoe het werkt; het is altijd rij keer\nkolom.",[103,110,111,114],{},[14,112,113],{},"De dimensieregel overslaan."," Check eerst of het überhaupt mag.",[103,116,117,120],{},[14,118,119],{},"De volgorde omdraaien."," $A \\cdot B$ en $B \\cdot A$ zijn in het algemeen verschillend.",[10,122,123],{},"Matrixvermenigvuldiging is de basis voor onder andere het oplossen van stelsels vergelijkingen en\ntransformaties. Het is vooral een kwestie van het patroon inslijpen, en dat gaat het snelst door\nveel voorbeelden te maken.",[125,126,128],"cta-practicely",{"title":127},"Oefen met matrices",[10,129,130],{},"Van vermenigvuldigen tot determinanten: oefen lineaire algebra stap voor stap met hints en\nuitwerkingen op Practicely.",{"title":132,"searchDepth":133,"depth":133,"links":134},"",2,[135,136,137,138,139],{"id":21,"depth":133,"text":22},{"id":42,"depth":133,"text":43},{"id":60,"depth":133,"text":61},{"id":82,"depth":133,"text":83},{"id":97,"depth":133,"text":98},"2026-07-21","Leer twee matrices vermenigvuldigen met de rij-keer-kolom-methode. Met de dimensieregel, een volledig uitgewerkt 2x2-voorbeeld en veelgemaakte fouten.","md",null,{},true,"\u002Fblog\u002Fmatrices-vermenigvuldigen",{"title":5,"description":141},"blog\u002Fmatrices-vermenigvuldigen","Lineaire Algebra & Matrices","FitQwaLhtdn85jIzPWNhl0tdeYkCJ9RgH7CePgrBKgA",[152,345,497],{"id":153,"title":154,"body":155,"date":140,"description":338,"extension":142,"image":143,"meta":339,"navigation":145,"path":340,"seo":341,"stem":342,"topic":343,"__hash__":344},"blog\u002Fblog\u002Fexacte-waarden-goniometrie.md","Exacte waarden van sin, cos en tan (30°, 45°, 60°)",{"type":7,"value":156,"toc":328},[157,164,168,257,261,264,267,274,278,281,286,289,292,295,299,302,305,309,322],[10,158,159,160,163],{},"Op je examen mag je vaak geen rekenmachine gebruiken, of moet je een ",[14,161,162],{},"exact"," antwoord geven. Dan\nkomen de standaardhoeken van pas: $30°$, $45°$ en $60°$ (oftewel $\\tfrac{\\pi}{6}$, $\\tfrac{\\pi}{4}$\nen $\\tfrac{\\pi}{3}$). Hun sinus, cosinus en tangens zijn nette wortelvormen die het waard zijn om\nte kennen.",[19,165,167],{"id":166},"de-tabel","De tabel",[169,170,171,190],"table",{},[172,173,174],"thead",{},[175,176,177,181,184,187],"tr",{},[178,179,180],"th",{},"Hoek",[178,182,183],{},"$\\sin$",[178,185,186],{},"$\\cos$",[178,188,189],{},"$\\tan$",[191,192,193,207,221,233,245],"tbody",{},[175,194,195,199,202,205],{},[196,197,198],"td",{},"$0°$",[196,200,201],{},"$0$",[196,203,204],{},"$1$",[196,206,201],{},[175,208,209,212,215,218],{},[196,210,211],{},"$30°$",[196,213,214],{},"$\\tfrac{1}{2}$",[196,216,217],{},"$\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$",[196,219,220],{},"$\\tfrac{1}{\\sqrt{3}}$",[175,222,223,226,229,231],{},[196,224,225],{},"$45°$",[196,227,228],{},"$\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$",[196,230,228],{},[196,232,204],{},[175,234,235,238,240,242],{},[196,236,237],{},"$60°$",[196,239,217],{},[196,241,214],{},[196,243,244],{},"$\\sqrt{3}$",[175,246,247,250,252,254],{},[196,248,249],{},"$90°$",[196,251,204],{},[196,253,201],{},[196,255,256],{},"—",[19,258,260],{"id":259},"een-handige-truc-om-ze-te-onthouden","Een handige truc om ze te onthouden",[10,262,263],{},"Schrijf voor $\\sin$ bij de hoeken $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ de rij:",[10,265,266],{},"$$\\frac{\\sqrt{0}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{1}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{2}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{\\sqrt{4}}{2}$$",[10,268,269,270,273],{},"Dat wordt netjes $0, \\tfrac{1}{2}, \\tfrac{\\sqrt2}{2}, \\tfrac{\\sqrt3}{2}, 1$. Voor $\\cos$ lees je\ndezelfde rij ",[14,271,272],{},"andersom",". En $\\tan = \\dfrac{\\sin}{\\cos}$, dus die kun je altijd afleiden.",[19,275,277],{"id":276},"waar-komen-ze-vandaan","Waar komen ze vandaan?",[10,279,280],{},"Je hoeft niks te stampen als je twee driehoeken snapt.",[282,283,285],"h3",{"id":284},"de-45-driehoek","De 45°-driehoek",[10,287,288],{},"Neem een rechthoekige driehoek met twee gelijke rechthoekszijden van lengte $1$. De hoeken zijn\ndan $45°$. Via Pythagoras is de schuine zijde $\\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$. Dus:",[10,290,291],{},"$$\\sin(45°) = \\frac{\\text{overstaand}}{\\text{schuin}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$$",[10,293,294],{},"en $\\cos(45°)$ is precies hetzelfde.",[282,296,298],{"id":297},"de-3060-driehoek","De 30°–60°-driehoek",[10,300,301],{},"Neem een gelijkzijdige driehoek met zijden $2$ en knip hem doormidden. Je krijgt een rechthoekige\ndriehoek met een schuine zijde $2$, een korte zijde $1$ (tegenover de $30°$) en een lange zijde\n$\\sqrt{2^2 - 1^2} = \\sqrt{3}$. Daaruit lees je direct af:",[10,303,304],{},"$$\\sin(30°) = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin(60°) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$",[19,306,308],{"id":307},"verder-dan-90","Verder dan 90°",[10,310,311,312,317,318,94],{},"Voor hoeken buiten dit bereik gebruik je de ",[313,314,316],"a",{"href":315},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Feenheidscirkel-uitleg","eenheidscirkel",":\ndaarmee bepaal je het teken (plus of min) en de bijbehorende standaardhoek. Twijfel je nog wanneer\nje welke verhouding gebruikt? Lees dan eerst\n",[313,319,321],{"href":320},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fsin-cos-tan-uitleg","sinus, cosinus en tangens",[125,323,325],{"title":324},"Oefen met exacte waarden",[10,326,327],{},"Leer de standaardhoeken vlot herkennen en toepassen, met directe feedback en uitwerkingen op\nPracticely.",{"title":132,"searchDepth":133,"depth":133,"links":329},[330,331,332,337],{"id":166,"depth":133,"text":167},{"id":259,"depth":133,"text":260},{"id":276,"depth":133,"text":277,"children":333},[334,336],{"id":284,"depth":335,"text":285},3,{"id":297,"depth":335,"text":298},{"id":307,"depth":133,"text":308},"De exacte waarden van sinus, cosinus en tangens voor 30, 45 en 60 graden, waar ze vandaan komen en hoe je ze onthoudt. Met de tabel en twee handige driehoeken.",{},"\u002Fblog\u002Fexacte-waarden-goniometrie",{"title":154,"description":338},"blog\u002Fexacte-waarden-goniometrie","Trigonometrie & Complexe getallen","LefbzySr4QMQMCtvC9y1Ueung0i9bLVjZoUsWTBcs7U",{"id":346,"title":347,"body":348,"date":140,"description":490,"extension":142,"image":143,"meta":491,"navigation":145,"path":492,"seo":493,"stem":494,"topic":495,"__hash__":496},"blog\u002Fblog\u002Fproductregel-quotientregel.md","De product- en quotiëntregel uitgelegd",{"type":7,"value":349,"toc":480},[350,366,370,376,379,386,390,393,396,400,406,409,420,423,426,429,433,440,444,471,474],[10,351,352,353,357,358,361,362,365],{},"Zodra je de ",[313,354,356],{"href":355},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fafgeleide-uitleg","machtsregel"," beheerst, loop je al snel tegen\nfuncties aan die je niet zomaar term voor term kunt differentiëren: een ",[14,359,360],{},"product"," van twee\nfuncties, of een ",[14,363,364],{},"breuk"," met een functie in de noemer. Daar heb je twee vaste regels voor.",[19,367,369],{"id":368},"de-productregel","De productregel",[10,371,372,373,375],{},"Voor een functie die het ",[14,374,360],{}," is van twee functies, $h(x) = f(x) \\cdot g(x)$, geldt:",[10,377,378],{},"$$h'(x) = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)$$",[10,380,381,382,385],{},"In woorden: ",[14,383,384],{},"afgeleide van de eerste keer de tweede, plus de eerste keer de afgeleide van de\ntweede."," Je differentieert dus om de beurt één van de twee factoren, en telt op.",[282,387,389],{"id":388},"voorbeeld","Voorbeeld",[10,391,392],{},"Neem $h(x) = x^2 \\cdot \\sin(x)$. Kies $f(x) = x^2$ en $g(x) = \\sin(x)$, dus $f'(x) = 2x$ en\n$g'(x) = \\cos(x)$. Invullen:",[10,394,395],{},"$$h'(x) = 2x \\cdot \\sin(x) + x^2 \\cdot \\cos(x)$$",[19,397,399],{"id":398},"de-quotiëntregel","De quotiëntregel",[10,401,402,403,405],{},"Voor een ",[14,404,364],{}," $h(x) = \\dfrac{f(x)}{g(x)}$ geldt:",[10,407,408],{},"$$h'(x) = \\frac{f'(x),g(x) - f(x),g'(x)}{\\big(g(x)\\big)^2}$$",[10,410,411,412,415,416,419],{},"Let op de twee valkuilen: het is een ",[14,413,414],{},"min"," in de teller (de volgorde telt dus!) en je deelt door\nhet ",[14,417,418],{},"kwadraat"," van de noemer.",[282,421,389],{"id":422},"voorbeeld-1",[10,424,425],{},"Neem $h(x) = \\dfrac{x}{x^2 + 1}$. Kies $f(x) = x$ en $g(x) = x^2 + 1$, dus $f'(x) = 1$ en\n$g'(x) = 2x$. Invullen:",[10,427,428],{},"$$h'(x) = \\frac{1 \\cdot (x^2 + 1) - x \\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$",[19,430,432],{"id":431},"een-geheugensteun-voor-de-volgorde","Een geheugensteun voor de volgorde",[10,434,435,436,439],{},"Bij de quotiëntregel maken veel leerlingen een fout in de volgorde. Onthoud: begin altijd met\n",[14,437,438],{},"\"afgeleide teller keer noemer\"",", dan pas het aftrekken. Wissel je die twee om, dan klopt het\nteken niet meer.",[19,441,443],{"id":442},"welke-regel-wanneer","Welke regel wanneer?",[445,446,447,454,461],"ul",{},[103,448,449,450,453],{},"Twee functies ",[14,451,452],{},"vermenigvuldigd"," → productregel.",[103,455,456,457,460],{},"Een functie ",[14,458,459],{},"gedeeld door"," een andere → quotiëntregel.",[103,462,456,463,466,467,94],{},[14,464,465],{},"ín"," een andere (samengesteld, zoals $\\sin(x^2)$) → dat is de\n",[313,468,470],{"href":469},"\u002Fpracticely\u002Fblog\u002Fkettingregel-uitleg","kettingregel",[10,472,473],{},"In de praktijk combineer je ze vaak. Een breuk waarin de teller zelf een samengestelde functie is,\nvraagt bijvoorbeeld om de quotiëntregel én de kettingregel. Herkennen wélke structuur je voor je\nhebt, is het halve werk, en dat leer je vooral door te oefenen.",[125,475,477],{"title":476},"Oefen met de product- en quotiëntregel",[10,478,479],{},"Van losse toepassingen tot combinaties met de kettingregel: oefen stap voor stap met hints en\nvolledige uitwerkingen op Practicely.",{"title":132,"searchDepth":133,"depth":133,"links":481},[482,485,488,489],{"id":368,"depth":133,"text":369,"children":483},[484],{"id":388,"depth":335,"text":389},{"id":398,"depth":133,"text":399,"children":486},[487],{"id":422,"depth":335,"text":389},{"id":431,"depth":133,"text":432},{"id":442,"depth":133,"text":443},"Leer differentiëren van producten en quotiënten van functies. Met beide regels, geheugensteuntjes en volledig uitgewerkte voorbeelden voor scholieren.",{},"\u002Fblog\u002Fproductregel-quotientregel",{"title":347,"description":490},"blog\u002Fproductregel-quotientregel","Afgeleiden","XrOiUbPTdEP7ddKEPElPqXc9WjK9G4LZxXQKNLFcwSQ",{"id":498,"title":499,"body":500,"date":692,"description":693,"extension":142,"image":143,"meta":694,"navigation":145,"path":695,"seo":696,"stem":697,"topic":343,"__hash__":698},"blog\u002Fblog\u002Feenheidscirkel-uitleg.md","De eenheidscirkel begrijpen: sinus en cosinus op één cirkel",{"type":7,"value":501,"toc":684},[502,512,516,519,522,529,533,536,562,565,568,572,615,618,622,625,628,631,635,642,645,648,650,678],[10,503,504,505,507,508,511],{},"De ",[14,506,316],{}," is een cirkel met straal $1$ en middelpunt in de oorsprong. Hij maakt\nsinus en cosinus in één klap visueel: je leest ze gewoon af als coördinaten. Ken je\n",[313,509,510],{"href":320},"sin, cos en tan"," uit de rechthoekige driehoek al, dan is dit\nde brug naar álle hoeken, ook boven de $90^\\circ$.",[19,513,515],{"id":514},"cosinus-en-sinus-zijn-coördinaten","Cosinus en sinus zijn coördinaten",[10,517,518],{},"Zet een punt op de cirkel dat vanaf de positieve $x$-as een hoek $\\theta$ maakt. Dan geldt:",[10,520,521],{},"$$\\text{punt} = (\\cos\\theta,\\ \\sin\\theta)$$",[10,523,524,525,528],{},"Dus: ",[14,526,527],{},"de cosinus is de $x$-coördinaat en de sinus is de $y$-coördinaat",". Waarom? In de\nrechthoekige driehoek is $\\cos = \\tfrac{\\text{aanliggend}}{\\text{schuine zijde}}$. Op de\neenheidscirkel is de schuine zijde (de straal) gelijk aan $1$, dus $\\cos\\theta$ is precies de\nhorizontale afstand en $\\sin\\theta$ de verticale.",[19,530,532],{"id":531},"de-vier-kwadranten-en-hun-tekens","De vier kwadranten en hun tekens",[10,534,535],{},"Omdat $x$ en $y$ van teken wisselen als je rond de cirkel loopt, doen cosinus en sinus dat mee:",[445,537,538,544,550,556],{},[103,539,540,543],{},[14,541,542],{},"Kwadrant I"," ($0^\\circ$–$90^\\circ$): $\\cos > 0$, $\\sin > 0$",[103,545,546,549],{},[14,547,548],{},"Kwadrant II"," ($90^\\circ$–$180^\\circ$): $\\cos \u003C 0$, $\\sin > 0$",[103,551,552,555],{},[14,553,554],{},"Kwadrant III"," ($180^\\circ$–$270^\\circ$): $\\cos \u003C 0$, $\\sin \u003C 0$",[103,557,558,561],{},[14,559,560],{},"Kwadrant IV"," ($270^\\circ$–$360^\\circ$): $\\cos > 0$, $\\sin \u003C 0$",[10,563,564],{},"De vier \"assen-hoeken\" zijn handig om uit je hoofd te kennen:",[10,566,567],{},"$$0^\\circ:(1,0) \\quad 90^\\circ:(0,1) \\quad 180^\\circ:(-1,0) \\quad 270^\\circ:(0,-1)$$",[19,569,571],{"id":570},"de-exacte-waarden-van-30-45-en-60","De exacte waarden van 30°, 45° en 60°",[169,573,574,586],{},[172,575,576],{},[175,577,578,580,583],{},[178,579,180],{},[178,581,582],{},"$\\cos\\theta$",[178,584,585],{},"$\\sin\\theta$",[191,587,588,597,606],{},[175,589,590,593,595],{},[196,591,592],{},"$30^\\circ$",[196,594,217],{},[196,596,214],{},[175,598,599,602,604],{},[196,600,601],{},"$45^\\circ$",[196,603,228],{},[196,605,228],{},[175,607,608,611,613],{},[196,609,610],{},"$60^\\circ$",[196,612,214],{},[196,614,217],{},[10,616,617],{},"Merk op dat $30^\\circ$ en $60^\\circ$ elkaars spiegelbeeld zijn: de $\\cos$ van de één is de $\\sin$\nvan de ander.",[19,619,621],{"id":620},"tangens-op-de-eenheidscirkel","Tangens op de eenheidscirkel",[10,623,624],{},"De tangens volgt direct uit de coördinaten:",[10,626,627],{},"$$\\tan\\theta = \\frac{\\sin\\theta}{\\cos\\theta} = \\frac{y}{x}$$",[10,629,630],{},"Daarom bestaat $\\tan$ niet bij $90^\\circ$ en $270^\\circ$: daar is $x = 0$ en delen door nul mag niet.",[19,632,634],{"id":633},"voorbeeld-sin-en-cos-van-150","Voorbeeld: sin en cos van 150°",[10,636,637,638,641],{},"$150^\\circ$ ligt in ",[14,639,640],{},"kwadrant II",", met referentiehoek $180^\\circ - 150^\\circ = 30^\\circ$. In\nkwadrant II is de cosinus negatief en de sinus positief, dus:",[10,643,644],{},"$$\\cos 150^\\circ = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\qquad \\sin 150^\\circ = \\frac{1}{2}$$",[10,646,647],{},"Je gebruikt dus de exacte waarden van $30^\\circ$ en past alleen de tekens aan het kwadrant aan.",[19,649,98],{"id":97},[100,651,652,666,672],{},[103,653,654,657,658,661,662,665],{},[14,655,656],{},"Sinus en cosinus verwisselen."," Onthoud de alfabetische volgorde: ",[14,659,660],{},"c","osinus hoort bij de\n",[14,663,664],{},"x"," (die eerst komt), sinus bij de $y$.",[103,667,668,671],{},[14,669,670],{},"De tekens per kwadrant vergeten."," Bepaal altijd eerst in welk kwadrant de hoek ligt.",[103,673,674,677],{},[14,675,676],{},"De referentiehoek verkeerd nemen."," De referentiehoek is de scherpe hoek met de $x$-as, niet\nmet de $y$-as.",[125,679,681],{"title":680},"Oefen met de eenheidscirkel",[10,682,683],{},"Leer de kwadranten en exacte waarden vlot aflezen met gerichte oefenopgaven en directe\nuitwerkingen op Practicely.",{"title":132,"searchDepth":133,"depth":133,"links":685},[686,687,688,689,690,691],{"id":514,"depth":133,"text":515},{"id":531,"depth":133,"text":532},{"id":570,"depth":133,"text":571},{"id":620,"depth":133,"text":621},{"id":633,"depth":133,"text":634},{"id":97,"depth":133,"text":98},"2026-07-08","Snap de eenheidscirkel: cosinus is de x-coördinaat, sinus de y-coördinaat. Met de tekens per kwadrant, de exacte waarden van 30, 45 en 60 graden en uitgewerkte voorbeelden.",{},"\u002Fblog\u002Feenheidscirkel-uitleg",{"title":499,"description":693},"blog\u002Feenheidscirkel-uitleg","EOG0qYOfjqxN64Y7aiApASHHTM_R-SzF8dX2K4hUX-4",1784921412874]